＞診療明細にはヘルペスの検査代と思われるもので「上部気道パネル…１５７５０円」とありました。どんなものなのでしょう？

おそらく、某検査ラボが実施している検査であって、遺伝子情報の検出にあたるＰＣＲ法によって、次の各病原体を検出しようというものではないかと思います。
猫ヘルペスウイルス、猫カリシウイルス、Chlamydophila felis、Mycoplasma felis、Borudeterlla bronchiseptica の５つです。

ただ、今までの経過が長いので、どの病原体が出てきてもおかしくないですし、５つとも検出されても不思議には思いません。また、まったく逆に感染していても何も検出されないということも考えられないではありません。
これは、ＰＣＲ法が信頼できないというのではなく、検査のタイミングと検査材料の適否があるということです。すでに慢性化してしまってからも、時間の経過があるのですから、この検査が即問題を解決してくれるとは限らない可能性もあります。
（念のために申し添えておきますが、検査ラボの方で掲げる検査目的の中には、慢性化した結膜炎も項目として挙げられております。）

この掲示板における主訴は、結膜炎ですが、おそらく炎症は角膜にまで波及しているのではないかと考えられます。この場合は、どのような治療法が取りえるのか、どのような薬剤を選択するべきなのかということが主題となりますが、そのあたりの話となりますと、実際に診療してみないと言及できないと思います。
眼科となりますと、結膜嚢にどのような病原体が存在して、どのような細胞が出現しているのかとか、スリットランプにおける所見は、というような直接的な情報も必要だと思います。

もっとも、お話を伺うとすでに３軒目の病院であるということのようですから、相当ご苦労されているかと存じます。こちらも４軒目を勧めてよいのか迷うところなのですが、まし、行かれるのであれば、ありていに話しをされればよいと思います。