県民の税金で運営されていく以上は、必ず予算措置が伴います。そこには収容限界があるわけでして、必然的に頭数管理が伴ってきます。
それゆえに、官がやらないことを民間に下請けに出すということが必要になります。

犬の寿命を何年と想定して、そこにいくらの予算をたてるかということになりますが、初年度に枠いっぱいに収容してしまえば、２年後から１頭も収容できなくなってしまいますね。

かつてT市の山中に４００頭の犬が居て、「犬捨て山」と揶揄されていました。行政による処分を不満として犬を引き取っていた人物がいましたが、その噂のために市外から捨て犬も増え、周辺に多大な迷惑をかける事態となってしまいました。
行政が腰をあげるまでに１０年、テレビに取り上げられてから１３年経過しています。愛護団体が絡んだりマスコミが取り上げたため、行政が処分しないという方針で臨みました。
「犬が死ぬまで飼うのか？」と批判されましたが、当事者の人物の方が３年くらいで亡くなり、血縁者が誰も名乗り出なかったので、文字通り死ぬまで飼うことになってしまいました。
今、犬の数は大分減っていますが、寄付やフードメーカーからの提供で大学生達が面倒をみています。

生涯面倒をみてくれるのなら、近隣のものなら引き取って欲しい人はいるでしょうし、黙って置いていく人もでてくるのではないでしょうかね？
まさか、関西から神奈川にまで犬を持ち込む人はいないかもしれませんが、「犬や猫を飼う責任というものは、あいまいであって良い」ということになってしまいませんかね？
行政が掲げる看板としては、いささか問題があるのではないでしょうか。子犬の引き取り数が減少している大都市ならではの発想のように思います。

ただ、神奈川県民にしても、無駄な税金を使わずにどんどん処分しろと、表立って反対はしにくいと思います。結局、そういう点に立っての政策ということになるのでしょうね。