はじめまして。私は獣医さんでも何でもないんで、あまり詳しいことは分からないのですが、少しでも知識の一助になれば幸いです。

まず、フィラリアの予防薬には大きく分けて２種類あります。
１〜２日に１回投与するタイプの薬と、１ヶ月に１回投与するタイプです（今は後者のほうがポピュラーですが）。
これらの薬は、投与する期間が実は異なるのですが、陽子さんの文面からすると、もらわれた薬はいずれも月１回のもののようなのでそちらの薬について説明します。

月に１回投与する薬にもいろいろ種類があるのですが、いずれも体内に侵入したフィラリアの子虫（ミクロフィラリアといいます）に効果があり、体内に侵入後１ヶ月経った子虫ならば１００％死滅します。
子虫は蚊に噛まれることによって感染するので、薬の投与期間は、蚊が発生する時期を１ヶ月ずらして（遅らせて）投与します。
蚊の発生する時期は、その年の気候や地域によって異なりますが、仮に５〜１１月だとすれば、薬は６〜１２月の間、月１回の投与になります。
薬の投与開始と終了は、だいたい５月の中旬とか下旬とかから投与を開始する場合が多いと思いますが、獣医さんによって若干異なります。
なかには、念には念を入れて４月からでも、飼い主さんが希望すれば予防薬を処方する獣医さんもいらっしゃるそうなので、５月になってから予防薬をもらったのであれば、処方時期が早すぎるということはないと思います。

また、フィラリアの予防薬を処方する場合は、生後１年以上の犬にはあらかじめ血液検査などの検査をして、血中に子虫がいないことを確認する必要があります。
なぜかと言いますと、すでに感染してしまった犬に予防薬を投与すると、重篤な副作用のおこる危険性があるからです（あくまで危険性ですが）。
ちなみに血液検査以外にも、免疫学的な検査法やX線検査などを行う場合もあるのですが、いずれにしろ処方する前には検査を実施するのが原則みたいです。
なので、なぜ何も検査をしないで薬を処方したのかは少し疑問が残るところですね。