こんにちは、セキセイ＆オカメ飼いのうみふじと申します。
獣医ではないのであまりお力になれないかもしれませんが・・・

健康診断については、鳥を専門としない病院の平均的なものだと思います。
他に検査するとすれば、そのう液の検査（口から管を入れて、そのうの中の液を採取する)や血液検査です。
そのう検査は鳥をよく診る病院でしたら基本の検査に含まれる事もありますが
（ある程度、鳥に負担をかけるので検査を希望しないと行わない場合もあります)
血液検査は鳥の体の大きさと採血量を考えると危険もあるので、検査が必要と考えられる場合のみという事が多いです。
オカメインコはトリコモナスという寄生虫を持っている子も多いので、そのう検査は受けた方が良いかもしれません。
どのような検査をしてくれるのかを確認して病院に行き、検診の際には検査の結果やこれからの飼育方法等の質問をすると、
その病院の方針などが分かると思います。

オカメインコについてですが、普段は止まり木に止まっていて地面で遊んでいたり、寝る時だけ地べたにいるのなら、
まだ止まり木に慣れていないだけかもしれません。
ただ、止まり木に止まれない、羽を膨らましてうずくまっている等の様子がある時は病気の可能性が高いので、
鳥に詳しい病院に行かれた方が良いと思います。

それと、二ヶ月半と言うと羽も生えそろっていますよね？もう大人の餌（皮付き餌）になる時期です。
新聞紙を裂かないでひき、その上に乾いた餌（乾いた粟玉や皮むき餌から皮付き餌に変えていくと
切り替えやすいかもしれません）をまいて、いつでも食べれるようにしてあげてください。
オカメは甘えんぼさんが多いので切りかえるのは大変かもしれませんが、差し餌を長くあげていると、
栄養失調やそのうの病気になってしまいます。
心を鬼にして、体重を量って大人の餌を食べているかを確認しながら、差し餌の回数を減らしていってみてください。

あと、出さないと騒ぐというのは、「騒げば出してもらえる」と覚えちゃったからではないでしょうか？
うちのオカメも小さい頃は周りの人間が「出さないのは可愛そう」と思うぐらい騒いでいましたが
（「出して」という目でじっと見つめてくるのも辛い・・・）
放鳥する時間が長いと人間の不注意で怪我をさせてしまう事もあるし、事情があって出せない時に
鳥が自分のおもいどうりにならないと感じて余計なストレスになってしまう事もあるので、
鳥中心の時間をつくって出すようにすると必要以上に騒がなくなりました。
出す時間帯を決めるとその時間帯を覚える子もいるそうです。