うえもと さん、
おそらく歯肉炎だと思います。
疑問なのは、獣医師は、病名を告げなかったのでしょうか。
病名ならずとも、どういう症状になっていて、飼っていく上で何に
注意すべきかとかの話もなかったのでしょうか。
歯肉炎でないとしたら、以下の私の経験談は、役に立たないでしょう。
まずは、獣医師に尋ねるのが最善と思います。

とりあえず、我が家の猫の歯肉炎について。
年１回のワクチン接種の際に血液検査と簡単な健康診断をしてもらっていました。
口が臭い、と言うと、唇をめくってみて、だいぶ歯垢が溜まっているとのことでした。
そのときは、なにもしませんでした。
１週間の出張から戻ってみると、猫が口からよだれをたらしていました。
透明な粘度のあるもののまわりに液状のものがしたたっていると言った感じでした。
「どうしたの」といって、顎をさわろうとすると、「ぎゃっ。」といって、
触わらせません。留守中世話をしていた家人に聞いても、餌は普通に食べていたし、
気が付かなかった、とのことでした。すぐに、獣医師に行き、翌日、全身麻酔で
抜歯２本でした。入院は１日か、２日だったと思います。
今後は、毎日、（できれば食後）歯茎を消毒するように、ということで、
アメリカ製の口腔洗浄剤を購入しました。はじめは歯茎が腫れているので痛がりました。
痛みが治まったら、今度は味が気に入らなくて、やはり嫌がっていました。
そして、怠けていて、一年半後、もう一本抜歯しました。
その時にすでに１５歳を過ぎていたので、「年齢を考えると、もう怖くて手術は出来ない」と言われました。
防腐のために、ビタミンＣ（アスコルビン酸）を入れていあるので、その酸味が
嫌なのかと思い、獣医師に相談して、イゴール（ルゴール？）液に替えました。
しかし、やはり、あまりに嫌がるので、中断になっています。
当時、腎臓機能も低下していたので、その関係で歯肉炎になったことも考えられます。
ここ２年ほどは、核酸栄養剤と、心臓の薬を摂取して血液検査の結果もどうにか
正常値内におさまり、元気です。

うえもと さんの猫が、単なる歯肉炎で、抜歯するほどでないのでしたら、薬局で、イゴール液（咽喉科で、喉に塗られる
茶色い液体）を購入し、ガーゼか、綿棒に湿らせて、歯茎を消毒することも、
ある程度の効果が期待できるのではないかと思います。
こういうことをしている人もいるのだけれども、と言って
獣医師にお尋ねになってみてはいかがでしょうか。