犬に飼われているＳＨＯＷです。
生後22日の仔犬と言う事ですが、仔犬が食べてくれるのならば離乳をしても良いと思います。
ブリーダーの多くが生後3週間頃から離乳をさせているので、人工哺乳が大変な場合はちょっと早いとは思いますが離乳も仕方ないのでは？
（うちでは母乳で育ってる子犬には無理矢理離乳はさせないので、実際に食べ始めるのが生後1ヶ月なんて事も多いですが・苦笑）
吐いてしまうと言うのは、多分飲み過ぎに依る物では無いでしょうか？
乳首の切り口を小さい物にしているとの事ですが、切り口はどんな風にしてますか？
お勧めはＹに切る事です。＋に切るとミルクの出が良すぎる事があり、やはり吐く事があります。
それと、個人的には哺乳瓶のお勧めは人間用の物です。
メーカーにも依りますが瓶がガラスで出来ていて消毒もしやすいし、なんと言っても人間用の乳首は柔らかくて仔犬にも向いてますから。
それから、思い付くのは授乳時の仔犬の向きかな？
仰向けの状態で授乳しているなら、ミルクが気管に流れ込む事があるかも？
実際に親のおっぱいを吸っているような状態（例えば膝の上にタオル等を敷いて頭を持ち上げた状態にするとか）を作って飲ませてみては如何でしょう？
最後に、どうしても気になるようならば毎日の体重を量ってみては如何でしょう？
なにか問題があるようなら体重は増えないと思うのですが？