犬飼いです。

私も、アレルギー体質ですし、気管支が弱い為に季節の変わり目には、かなりキツイ思いもします。
でも、症状が一番ひどくなるのが、精神的なストレスです。
お子さんの主治医がアレルギーや喘息専門医で、検査で問題がないとの判断であるなら。
当然、臨床例や経験を踏まえての許可ではないのでしょうか？
室内の掃除と同じように、犬の手入れを怠らなければ、飼い方は、内外いずれでも問題ないと思います。

小学４年生なら、自分のことは当然自分で賄うこともできるでしょうから、低学年の様に手が掛かる年ではないと思います。
小児喘息の患者さんの殆どは思春期頃までに治ると言う報告もあるようです。
当然、人に迷惑をかけないしつけや排泄の世話もあります。
自分以外の命に関わる（世話をする）ことで、人としての優しさも育まれると思います。

私から、お母さんにお願いがあります。
子供さんが欲しくて飼い始めても、今までの生活プラス犬の世話がお母さんの生活の中に入ってきます。
犬育ては、子育てと同じくらい忍耐も必要です。小型・大型犬いずれも経済的負担や時間的な制約もかかります。
だから、どんなことがあっても、犬も自分の子供と思って世話をして守って下さいね。

これは、余談ですが、犬猫は喘息患者に良くないと言われておりましたが、
猫飼いさんに朗報！？
アレルギー傾向にある子供は、ネコのいない家庭よりも、ネコと一緒に生活している子供の方が、動物に対してアレルギー反応が起こりにくいということが証明されました。
そして、この結果から、家庭でいっしょに生活している動物によって、喘息になる可能性が低くなることが考えられます。
と言う研究報告もあります。