まとめてレスする失礼をお許し下さいね。
ナナさん白猫さん初めまして。ボタンインコオーナーのふじと申します。

ナナさんのコザクラちゃんの様子から、アレルギーなのかな？という気がします。
ハムスターの木くずとは、パインチップのことですか？針葉樹系のチップはアレルギーを起こし易く、鳥にもハムスターにも本当は向かないんですよ。
症状は目や呼吸器に出ます。できるだけ早く床材を変えてあげて下さい。
今の時期はそんなに寒くはないですから、お勧め床材はキッチンペーパーです。白くて分の状態が分かり易いし、まき餌がうずもれることもないですしね。
他にも目の病気はあるようです。私が読んだ鳥雑誌に体験談が出ていましたが、その型は１羽は落鳥してしまい、もう１羽は無事に完治したそうです。
アレルギーだけが原因とは言いきれませんから、できれば獣医さんに相談されたほうがいいと思いますよ。

白猫さんのセキセイちゃんは、もう産んでしまいましたか？お話から、もう今日中には産まれるかなと思うのですが。
鳥はメスだけでも卵を産みます。ニワトリがそうですよね。（冷蔵庫に常備してる、アレです）
本当は産ませないほうが体に負担がかからず良いのですが、もうそうなったら止められませんから、産み終わるまで待ってあげてください。
途中取り除くと数あわせのために無理をして産み続けますから、卵はそのままです。
巣箱は入れないで下さい。そのほか発情につながりそうな環境をなくすことも大事です。籠の隙間をなくしたり、濃厚飼料をやめたりなどなど。
発情させないのって、大変なんですよね。私も苦労してます。