獣医師ではありませんがご参考まで。
　
　かなり難しくややこしい状況ですね。
　
　「法は家庭に入らず」という原則があるのですが、最近は幼児虐待などのドメスティックバイオレンスなどのあって、この原則は崩れつつあります。
　猫の所有権がご家族内のどなたにあるのか、あったのか、という問題があります。証する書類などはおそらく存在しないわけで、それ以外の根拠をさがす必要があります。
　施設の職員にどの程度、持ち込んだ人が所有者であるのかを確認する義務があるのか、というのも問題です。
　他方、施設の職員には守秘義務があるでしょうから、引き取ったかたの連絡先をちーちゃんさんが直接知るのは困難でしょう。
　また、引き取ったかたは「善意の第三者」にあたるでしょうから、法の強制によって返還を求めるのは困難で、相手かたの同意が必要だろうと思われます。

　つまりポイントは、施設の職員に引き取り手に連絡し交渉してもらうことで、その時に、ちーちゃんさん以外の、が、ちーちゃんさんを代理してくれる人に、交渉を確認してもらうこと、だろうと思われます。連絡もせずに「引き取り手のかたが返したくないと・・・」などと誤魔化されないために。

　電話帳などで地域の弁護士会を調べて問い合せ、弁護士を雇われるのが結局は早道だと思います。お金もかかるでしょうし、ご家族と強く対立することになるかもしれないお覚悟もいるでしょうが、「猫を取り戻す」ことを優先するのであれば、法の専門家を使うのが最善だと考えます。