＞猫の避妊手術直後について

避妊手術のやり方には色々あるので、一概には言えません。
例えば、僕の病院では退院後お薬は渡しませんし、ほとんど当日に退院させます。
抗生物質を出すとしたら、よほど細菌感染が怖いときでしょうが、普通の避妊・去勢くらいでしたら出さない病院も珍しくないと思います。
どういう手術をしたのか判っているのは手術を受けた病院の獣医師だけだと思いますから、心配ならそちらにもキチンと相談してくださいね。

＞うさぎの歯を削った後のトラブル

ウサギさんの場合、強いストレスを与えると、こういう、消化管の蠕動低下によるトラブルがあると思います。
麻酔をかけての作業だったのでしょうか？
削ったのは切歯？奥歯？
実際に死んでしまうのかどうかまでワカリマセンが、事前の説明が足りなかったのかもしれませんね。
麻酔をかけて奥歯を何本も時間をかけて処置したならば、術後もかなり強いストレスを感じていたでしょうから、こういう事もあるかもしれません。
しょっちゅうではなくても、こういう事はありえることですから、飼い主、獣医師双方の事前の情報収集不足、意志疎通の不足が悔やまれます。

先方も費用を負担して治療したいと言ってきているわけですから、一応の誠意は見せているのだと思います。
どうしてもその動物病院との間に不信感が拭えないのであれば、転院もやむを得ないと思いますが、一応これで矛を収めてみてはいかがですか？
現実には、まだ生きているウサギさんが目の前にいるわけですから、院長の過失を追求するよりも治療に専念してあげてください。

どのみち、信頼関係のないところに良い治療は生まれません。

具体的な治療内容について意見を交わしたいようでしたら、（商品名とか出ますので）直接メールください。