「免疫」とは非常に広範な意味を含みます。
一般的に「免疫」という言葉が使われる場合としては、
母乳から免疫を受け継ぐとか、ワクチンを打って免疫を付けるとかがありますよね。
そういうときの「免疫」は、
病気にならないよう、なっても軽く済むよう、「抵抗力」を付けると言い換えることができます。
免疫力を調べる検査方法はないのかとの質問ですが、免疫力というのは数値で表すことのできるものではありません。
しいていえば、病気になりやすい、病気が治りにくいことがわかって初めて、
「この子は免疫力が弱い」と判明する『結果』なのです。

話は最初に戻りますが、免疫力＝病気に対する抵抗力という観点からは、
免疫力を高めるのは抵抗力を高めることだと考えてみてください。
抵抗力を高める原点は体を丈夫にすることです。
住環境と食餌と運動を適切にして体力をつけ、不健康の元となるマイナス因子を取り除けば、
体に本来備わっている治癒力ががんばることができます。
そうすれば免疫力の弱い子でも、それ以上ひどくさせないで慢性疾患とうまくつき合っていくことができます。
皮膚炎のそもそもの原因を突き止めるのはむずかしい場合がありますので、
薬や食餌や暮らし方など対症療法を根気よく探る必要があります。
どうなると悪化してしまうかにもし心当たりがあれば、その要因を減らしてみてください。

避妊手術に関しては、免疫力が弱いから止めた方がいいというのはそれだけでは説明が足りないように思います。
麻酔へのリスクが高いからとか、傷の治りがよくないだろうからとか、全身に負担がかかるとか、
もっと直接的な理由があって獣医さんは手術を勧めないのではないでしょうか。