テクニカルに可能かどうか、といえば可能です。ショップで市販されている小鳥も、なんらかの形で産地から輸送されています。昔は駅留めで汽車で送ったりもありました。ただ、ヒトがつきそわない場合、途中でのケアができないぶんだけ、事故率は高くなります。
　規約その他の関連ですと、多くの一般宅配業者が断わるようですが、発送者と荷物を受ける営業所との関係によって通ったり、営業所留めなら、あるいは食品扱い（生きたカニを送るのと同様な）ならＯＫ、というケースもあります。いずれにせよ、死着でも免責です。
　某大手運送会社にはペット専門部門もあります。これならば比較的簡単に送れますが、原則専用便なので高くつきます。

　どういうご意図で利用なさりたいのかわかりませんのでなんともいえませんが、ご商売として継続的に、かつ、ロスを覚悟ならばあれこれ苦労なさって安価なルートを開拓してもいいでしょう。が、１、２度ならば、専門業者に依頼するか、ヒトが付き添って運ぶか、のほうが、表面上は高くついても手間を含めれば合理的かと思います。

　付き添いのある場合、ない場合とも、事故を減らすノウハウはあります。各種飼育書、特に図書館等で昔のものをご覧になるなり、ＩＡＴＡの基準などご参考になさるとよろしいかと思います。