獣医師ではありませんがご参考まで。

＞フクフクさん

　ダンボール箱を横向きに使い、もともとの蓋と底はガムテで内側をキレイに覆い、底(もともとの側面)にペットシーツを両面テープで固定、側面(もとの天か底)をコの字に切って扉に。通風孔は多めにしておいて、明るくて騒ぐようなら外から覆えばすみます。なお通風孔は「内側から」切って、内側に突起が出ないように。止まり木ネットなど、要素を増やすほどトラブルの元になります。なお、できる限り夜間の輸送をお勧めします。

＞おかめちゃんさん

　アレックスさんご推奨の方法でもいいし、カゴの入り口同士をくっつけておいて新しいカゴに入ったら戸を閉め、古いカゴを撤去、でもいいですし、古いカゴの造作を新しいカゴに設置しておいて鳥を掴んで移してもかまいません。
　結局はストレスマネージメントの問題です。
　気を遣うアプローチもありますが、他方、鳥にヒトが訓練されてしまって、ますます神経質にしてしまうリイクもあります。無理やり移す系はその反対で、タフに導けますが、最初のハードルが高いとこじれるリスクがあります。
　最終的には飼い主の読みでしょう。

　もし私なら、一回のイベントのストレスはあまり気にしません。それで終わりですから。むしろ日々の世話に対してバタつくほうをケアします。端的にいえば、カゴの中に手をいれないですむ構造にします。

＞雨さん
　飲水量を測ってからかかりつけの病院にご相談を。

＞みいさん、もるちゃんさん、コッコさん、ｍａｍｉさん。
　ネット上での情報収集で時間を無駄にせずに病院へどうぞ。