「無理が通れば道理が引っ込む」と言います。
自分のやろうとしている事が法律的にも道義的にも予算的にも
通らないワガママだと判っているのですよね。
それでも通そうとすれば無理をするしかありません。
貴方の問いの中に貴方の答えがあります。

すなわち、家を買う事です。引っ越す事です。里親を５月までに探す事です。
無理ですか？

じゃあ、相手に土下座してでも待って貰う事です。
毎日、毎日、これ以上は絶対にご迷惑はかけませんからと相手が
折れるまで頼み倒す事です。
挨拶し、笑いかけ、相手を和ませ、ありとあらゆる手を使って
仲良くなり、もう判ったからと言わせなさい。
なんならゴミ捨てを肩代わりするから、とかお詫びに毎日玄関前を掃除
しますから、どうか認めて下さいと交渉しなさい。
「何で私達がそんな事までせにゃならんの？」
そう思いましたか？それも無理ですか？
じゃあ、無理です。

貴方達は神様では無いのですから出来る事しか出来ません。
出来る事をやるしかありません。
どんな正論も理想論も、嘆きも口だけでは何の力にもなりません。
何のリスクも無しに無理は通りません。
「自分達は頑張っている」と言ってもそれは主観的なものです。
相手にすれば頑張れば頑張るほど迷惑、とすら思っているでしょう。
「どうしても助けたい、助けてみせる」
法を敵に回し、世間を敵に回し、あらゆる犠牲を払っても
良いと言う鉄の意志と覚悟がありますでしょうか。
法を味方につけ、世間を抱き込み、あらゆる方策を練って
実行する知恵と勇気がありますでしょうか。

無いのなら残念ながら結果的には、
生半可な保護だった、と言う事になります。

試験に通らねば大学に通えないのと同じ事です。
これは理想論とかそんな話ではなく諦めるか、通させるかの「駆け引き」なのです。
それに「あと一ヶ月」ではなく「まだ一ヶ月」もあります。
期限切れになったら「もう一ヶ月」待って貰えるよう、
誠心誠意お願いすればいいだけでしょう。
まだ若いんですから、まず動く！しっかりしなさいな！