まず、人に慣れているかどうかで、多少方法が違うと思います。
人に慣れているなら、洗濯ネットに入れてからダンボールに入れることを
お勧めします。
連れて行くことも大変ですが、病院に連れて行き、ダンボールから別の入れ物に移すときに、
逃走劇が始まります(笑）。それを予防するためです。
また、道中にダンボールの穴の部分から破いて出てきて、病院の駐車場で逃げ出してしまうケースもあります。
逆に、退院の時も注意しなければいけません。

次に人に慣れていないときが一番大変です。一度失敗すると当分同じ場所に
近寄らなくなったり、人にも警戒心が強くなったりするからです。
一番難しそうで、安全で、以外と簡単なのは、ケージを利用することです。
出来れば、四方が網のタイプのものがよろしいのですが、別のものでもいいでしょう。
そこで食事を食べさせることに成功させるように仕向け、当分はドアも閉めず、
人も食事を置く時意外は触らないようにし、警戒心を緩めておきます。

慣れた頃にドアを閉めて病院にそのまま連れて行きましょう。

但し、これはかなりの根気が必要で、一ヶ月くらいは時間がかかるかもしれません。
これが欠点です。

これも無理そうなら、けがをする覚悟で、厚手のバスタオルで猫の全身を覆い、
そのままケージに入れるか、大き目の洗濯ネットに入れればいいでしょう。
もう一人協力者がいらっしゃれば、楽ですね。
ポイントは頭をすっぽりかぶしてしうことです。猫はケージの迫り来る入り口が
見えないので、恐怖を感じないで済みます。
このバスタオルを使用する方法は、最初の人に慣れている場合の時も、有用です。
全てが自由で、狭い環境におかれたことのない個体は何かが迫ってくるのは
恐怖を感じるようです。
やさしく、バスタオルをかぶせ、そのままネットにいれ、きちんとファスナーを
閉じれば、少々暴れても、お互いがけがをしません。

病院の先生に頼んで、安定剤を処方してもらい、その隙に捕まえる方法もありますが、
欠点は、効き方が違うこと、意識はあるので、暴れるのは暴れます。
また、逃げられてしまうと、却って事故にあったりの危険が伴いますので、
あまりお勧めではありません。

これくらいでしょうか。
他の方々も何かいい方法をお持ちかもしれませんね。