最初に診察してもらってからは病院には行っていないのでしょうか？それとも毎日通院しているけれど
呼吸状態の改善がないということでしょうか。

どちらかで、少々対応が違うような気がします。
病気というのは、最初からの経過を追って見るのが獣医師にとって大変重要なことになります。
もしも、最初に行って以来、診察を受けていないのであれば少なくとももう一回は診察を受け、呼吸がおかしい旨をお伝えになるべきでしょう。

「カゼのような症状」とは咳ということでしょうか。
いずれにしても、投薬でこの症状が改善され、本犬も元気があるのでしたら今は病院を替えずに通ってみてはいかがでしょうか。
その上でカゼの症状と呼吸がおかしいことの関連性がなく、高度検査が必要であれば主治医の先生とご相談になり
大学病院などの紹介を受けられてもいいと判断いたします。

相手が子犬であり、ご心配であるのは理解できますが、獣医師も人です。
一度行っただけで病院を替えてしまわれれば、替えた先の病院でもレオンのママさんにあまりいい印象をもたないおそれがありますよ。

もちろん、どうしても現在の主治医の先生に拭い去れない不信感があったり、３−４日毎日通ったけど症状の改善がありませんということであれば
転院を考えてもいいかもしれません。
その際は、現在投薬している商品名または「咳止め」か「抗生物質」など何の目的の薬かでもいいので
転院先の病院に言っておかれるといいですね。