さちゅさん、こんばんは。
まず、いろいろご回答があったように
いろんな考え方があります。ですから、
自分だけの考えだけでいろいろ悩むことなく、
それなりの人に相談されるのがいいと思います。
例えば、一般的なことであればこういう場がいいと思いますし、
より専門的なこと具体的なことについてはその筋の専門家を
尋ねられることだと思います。

あと、余計なことだと思いますが、
証拠はいらない...というのは、物証（第三者の目撃も含む）は
必ずしも必要でなく、状況も証拠となり得るということだと思います。
また、咬んでない証明というのは、
まずそれなりに咬んだという証拠（状況証拠も含む）があってのことだと思います。
その犬が咬んだという根拠がないまま、咬んでない証明をしろとは言えないと
言う事です...あたり前のことですが。
その時、お巡りさんも来たということであればそれなりの状況証拠はあると
いってもいいように思うのですが...ただ、そのへんの判断はやはり
その筋の専門家によってなされるものように思います。
あと、保健所の仕事ですが...本当のところは詳しくはないのですが、
一般的に考えると、犬の管理責任等を問うのが保健所の仕事であって
咬傷事故に介入することはないと思います。また、
警察についてはあくまでも刑事...傷害？事件となれば
動くということのように思います。ただ，
その場合もその傷害及び悪質さの程度によって
変わってくることのように思います。また、
刑事では（証拠不十分などで）無罪となっても
民事では有罪...賠償責任ありと判断されることもあります。
もし、なんらかの補償なりを希望されているのであれば
まずは今一度、警察に相談されるのがいいと思います。それによって、
責任の所在が明らかになればより補償交渉は有利になると思います。ただ、
警察にかけあってももしかして門前払いのような扱いを
受けることがあるかもしれませんが、
親身に対応してくれる可能性もあると思います。もし，冷たくあしらわれても
それはそれで仕方がないとあまり気にせず，次の手段...
先のご回答にあったようにそれなりの専門家に相談されることだと思います。
もし、単に犬の管理指導を求められるなら保健所に..でいいと思います。

最後になんとなく、（あえて申すことではないかもしれませんが）
直接相手方と話合われるのは避けた方がいいような...
直接ちゃんと話せばわかってもらえると思えばそうされてもいいとは思いますが..。