レオが愛されていないとか、飼う資格がない飼い主だとか、決めつけてしまっていることには疑問を感じます。ハスキーが10歳まで生きているということは大切にされていなかったわけではないと思うからです。その家にとっては最善の飼い方をしていた、でもつつかわさんから見たらひどい飼い方だ、その違いなんだと思います。その家の飼い方を否定するのではなく、その家を悪と決めつけるのではなく、「出過ぎたことかもしれませんが」と謙虚にお話をしたほうがいいのではないでしょうか。

「出過ぎたことかもしれませんが、病院に連れていってあげたい、苦痛のない余生を遅らせてあげたい」
これを言うことは「レオを譲ってください」ということです。今後すべてのことを引き受けたいということです。つつかわさんはそのつもりなのでしょうか?
仮にそうだとしてもレオがそれを望むかどうかはまた別問題です。老いて病気をもった犬が住み慣れた場所と慣れた人から離れることがはたして幸せなことなのか・・・。
おそらくレオの病気は治るものではないでしょう。先の時間はそう長くはないでしょう。通院も入院もレオはいやでしょう。検査も薬もレオはいやでしょう。10歳という年齢も加味すると、レオにとっては住み慣れたところで静かに暮らすのがいちばんなのではないかと思います。
レオの飼い主が「こんな犬、もういらないんです」と自分から言うのであれば、レオはつつかわさんに引き取られるほうが幸せでしょう。が、飼い主がそれを言わないのならレオは死ぬまでその家の犬ですね。

散歩に連れていったり、水をやったり、病気のことを言ったり、そういうことは「ぜひお願いします」「いつでもどうぞ」と飼い主のほうから進んで言わないのならそれをされることを心良くは思っていないのでしょう。先方と上手に接してその言葉を引き出す努力をしてみて、それでもその言葉がないならきっぱり身を引くほうがいいと私は思います。