ワクチンについては、対象疾病が同じであれば、メーカーや製品が同一でなくても差し支えはありませんよ。
もし、仮に先に接種舌ワクチンで「レプトスピラ病」が対象となっていたのに、後からのワクチンでこれが外れていたのであれば、別に追加で接種する必要がありますが、対象となる疾病が同じであれば、体の中で造られる免疫抗体には差が生じません。ペットショップの指摘は心配されるようなことではないと考えます。

フィラリアの予防というのは、蚊がフィラリアの虫体を媒介する季節であれば、年齢幼弱を問わず感染の危険性はありますので、幼いから予防しなくてもよいという理屈は成立しません。予防そのものは必要です。
ただ、幼弱な子犬の場合、「脳脊髄液関門」と呼ばれる脳を感染や薬剤から保護するためのバリアー機能が充分に働いていない例もあります。そのために、あまり幼い子犬の場合ですと、もう少しまってからにしようということはあってもよいと思います。
私の場合ですと、犬種も考慮しますが、通常であれば、３ヶ月齢から服用させています。

蚤の駆虫薬については、今病院で処方されている滴下式のものであれば、即効性がありますから、蚤の痕跡を確認してから摘要するということでもよいように考えています。
例えば、「フィプロニル」を主成分とする製品が広く処方されていたりしますが、この製品ですと、滴下式だけでなく、スプレータイプのあります。
スプレータイプの製品の場合ですと、生後２日齢の子猫から摘要対象となっています。むろん、滴下式とスプレータイプでは、主成分の濃度が異なりますから安全性も同じというわけにもいきませんが、量的には注意が必要でも質的には安全な部類になるのではないかと思います。

もっとも、これらの３点について、個々には問題はなかろうと考えるのですが、これを全部いっしょにやっちゃうということになると、私はお勧めしません。できるかぎり、間隔をとるようにします。問題はおきないのが当たり前でなくてはなりませんし、わざわざ、子犬を疲れさすような設定で実施しなくてもよいだけのことですからね。

ペットショップが自ら販売した子犬の健康を心配するのは、結構なことと考えますが、「病院を変えた方がよい」までは、言いすぎでしょうね。