私は、今、急いで考える必要は無いと思います。

お母様もお嬢様も、獣医師という仕事を町で見る犬や猫の動物病院の獣医師という形でしか想定しておられないように思います。
獣医師の仕事の範囲は、とても広く数から行けば、犬や猫に触れることのない獣医師の方が多いでしょう。ですから、犬に触れることなく獣医師の仕事をしていくことは充分に可能ですし、大学における実習も卒業後の進路を明確にできるのであれば、大学の先生も周囲の同級生も理解してくれると思います。獣医師というのは、一つの資格なのですから、資格を取得するとか、獣医師になることには支障はないと考えられます。
が、しかし、犬や猫の診療を希望されているのであれば、犬に触れることができないのは、問題としては大きいように思います。
ウサギに対して、アレルギーを有している人はかなりおります、それは本人が気づいていない分までとなると相当の比率になるようです。猫にアレルギーをもっている人もけっこうおります、かくいう私もそのいう１人に該当しているのかもしれません。
ウサギや犬を診療対象としないということになりますと、ウサギについてはとくに支障はないと思いますが、犬の場合は、「猫専門病院」というような形態での開業となりますので、知識や技量だけでなく、病院経営のセンスと宣伝や人間関係の構築等の獣医師とは直接の関係は無い能力も磨かなくてはならないことでしょう。
ただ、そのような実例はありますので、今あきらめなくてはならないということでもありません。本人の頑張り次第でしょうし、けりーずはうす先生が言われているように体質改善に努める時間というのも充分にあります。今、小学校４年生であれば、大学受験までにどのように気持ちや状況が変っているか、変っていないかという事になるでしょう。
今の時点、なれるなれないを即断することでもないと思います。

直接、犬やウサギに触れると蕁麻疹が出るということですから、軽がるしく「なれます」とも申せませんが、犬を診療対象としないとか、大動物の診療分野に進むとか、もっと広く獣医師としての道に進むとかなら考えられることです。
今、お母様としてお子様にしてあげなくてはならないのは、アレルギーをきっかけに動物嫌いになってしまわないように気遣ってあげることではないでしょうか。大学受験の頃までには、本人が決断するように思います。