犬の爪の中には、血管と神経が併走して（沿って走って）います。
つまり、血が出た、ということは神経も切ってしまったということで、それで
痛がったものと思います。
ただ、人間でもそうですが、痛みの感じ方というのは犬それぞれで、爪切りで
爪をはさまれただけで痛がる犬もいれば、神経を切られてもそれほど騒がない
犬もいます。

白い爪なら、赤い血管が透けてみえますから、その手前までで切るのをやめれ
ば安全です。

黒い爪の場合には、少しづつ切り進んでいると、切り口の真ん中に透明感の
ある管の切り口のようなものがみえてきます。
それが、神経と血管の通り道ですから、それがみえてきたところでやめれば
血管や神経を傷つける心配はなくなります。

ただ、黒爪の犬は、慎重に切っていても切りすぎてしまう確率が高いので、
硝酸銀（これって一般で手にはいるのかな？）や市販の止血パウダーなどを
準備して臨むとよいかと思います。
うちの黒爪２頭（チワワと甲斐犬）もそれぞれ１度づつ血をみています。

あと、切れ味の悪い爪切りや、人間用の爪切りは、爪をはさんだときにその
圧迫で痛いようなので、是非切れ味の良い犬用のもので切ってあげて下さい。
使い慣れないうちは、ギロチン式よりもニッパー式の方が使いやすいかもしれ
ません。