私の猫も歯肉炎で２回抜歯手術をしています。

まず、猫や、犬は歯がなくなっても、歯茎が丈夫なので、
食事には、問題ありません。

抜歯も詰め物も、全身麻酔をすることは必要でしょう。
虫歯だけでしたら、詰め物をすることのできるお医者様が見つかれば良いかもしれませんが、
炎症が、根っこに及んでいる場合、そこを、きれいにしなくてはなりません。
軽い炎症だけでしたら、歯みがき剤（滴下式のが便利）と、
消毒（人間が耳鼻咽喉科で喉に塗られるあの薬）を食事の
度に行うことで、小康状態をたもてるか、うまくすれば
快方に向かうかもしれません。
詰め物をした場合心配なのは、人間でもありますが、
虫歯がきれいになりきっていなくて、中で進行してしまうことです。
ねこや、犬は歯が痛いとは言えませんので、
飼い主がその辺をいつも注意する必要があるでしょう。
猫や犬の歯医者さんというのは私も、聞いたことがないので、
それについてはコメントできません。

なお、うちの猫は、２度目の手術のあと、麻酔の切れが
良くない様に感じたので、その後、歯肉炎がでましたが、
消毒だけで、とりあえず様子見です。
かかりつけの医師もその猫の腎臓がよくないので、手術はこわいので、これ以上の歯のための手術は
やりたくないと言われました。