新米パパさん、こんにちは。

なかなかレスが付かないようなので、的確な回答はできないのですが、参考までに。

ご飯を食べた後に、咳？ですか？
確かに、猫もくしゃみや咳をするようですが、実は、私はくしゃみをするのは何回も見ているけれど、咳をしていると断定できるところは、ほとんど見たことがないのですね。
実際、猫の咳は個体差が大きく、分かりづらいものも多いようです。
くしゃみは、風邪を引いた時や、水を気管に入りかかった時（うちの猫は、蛇口から直接流れる水を飲みたがるので）などにしています。（気管に水が入るのは、好ましくないことなのですが）
吐くような姿勢をして、「ぷしゅ！ぷしゅ！」という感じで、やった後に鼻を舐めたりします。

くしゃみにしろ、咳にしろ、風邪から重い病気（気管支炎・肺炎・心疾患（咳の場合）など）まで考えられますので、日常的にするのであれば、一度、きちんと病院で診て貰った方が安心でしょう。
症状が「ご飯を食べた後」に限定されるのであれば、ビデオで撮るなどして、持って行ければ説明が簡単なのですが・・・。

余談ですが、猫という動物は、個体差はありますけど、一般に思われているほど、頻繁に吐く動物ではありません。特に短毛種であったり、自分でグルーミングをあまりしない子猫の時であれば、毛玉をほとんど吐かない猫も少なくないです。
ご飯を食べた後に「嗚咽」のような行動をするのであれば、消化器系に問題が潜んでいる可能性もあります。
子猫のうちは、その子の体質を知るためにも、ちょっとおかしいなと思ったら、病院に相談する癖をつけていると、後々の大病を早期発見しやすくなりますよ。