猫がストレスなくということでしたら、やはりゆっくり慣れてもらいながら何ヶ月かかかるつもりでやっていくほうがいいのでしょうね。

でも、おっしゃるとおり病気や去勢手術のことを考えますと、そう気長にはできませんね。
これは、意を決して行動に移したほうがいいでしょう。
その代わり、中途半端な形をとりますと、かえって警戒心が強くなり、２度とおうえんしてますさんに近寄らなくなったりするでしょう。
にゃんにゃさんもおっしゃっていますが、これはケージを用意し、手術などが終了した後もしばらくはその中にいれ
おうえんしてますさんに対する警戒心をすっかり解いてしまうのを待ったほうがいいと思います。
このケージに入れる場合、猫が「出してー｣と鳴いていても、とにかく「無視」を続けケージから入れたり出したりをしない方がよろしいです。
最初はパニックになり、興奮するでしょうから、ケージには何も入れないほうがいいでしょう。
水入れや餌をひっくり返してしまいますから。
餌やトイレの交換の時に猫さんがケージから飛び出てしまうこともあるかもしれません。
理想的には、ケージは奥行きがあるように、２個つないで使用するほうがいいかもしれません。
くれぐれも、まだおびえて警戒している間は、このケージからは出さないほうがよろしいです。
どのくらいかかるかはその猫さんの性格にも寄りますが、しばらくすれば必ず、警戒心を解くはずです。
それから徐々に触ったり、抱いたりすることから始めればいいでしょう。

がんばってください。