遊ばせるだけで猫から犬、犬から猫にうつる病気はありませんのでご安心ください。

それよりも、犬と猫を遊ばせる場合は、猫の爪はきちんと切っておくことを心がけてください。
猫の爪の威力は想像以上です。それにより、犬の目に怪我を負わせてしまっては大変なことになります。

さて、老婆心ながら一つ意見を。
猫好きさんの猫さんは、過去にも犬と遊んだり、犬と育ったりという経験があるのでしょうか。
それとも、現在がまだ子猫ということでしょうか。
犬と猫は、本来は仲良くは出来ない種です。
犬にとって猫は狩りの相手であり、猫にとって犬は脅威の相手です。
ですが、子供のときから「家族」として暮らすことで、その「個体」に対してだけは狩りの相手ではなくなります。
現に、うちの犬、猫とも一緒に暮らしている相手にはほとんど興味を持ちませんが、家の外で出会う猫には追いかけようとします。

また、犬と猫が仲良く「遊ぶ」というのは、お互いが幼ければ、対象とはなりえますが、大人同士であれば
残念ながら遊び方が違いますので、思ったほどは遊ばないものですよ。
まあ、犬が大人で、相手が仔猫の場合は、犬のほうが多少面倒を見てくれることもあります。
しかし、猫が大人で、犬が子供の場合は、猫パンチをお見舞いされ、そのまま高いところに避難されるだけとなることが多いものです。

また、犬のうちも狩猟犬としての能力が高いままのポインター種やダックスであれば、動くものをつい本能で追いかけ
攻撃的になるのは、ある程度は予測しておかれた方がいいでしょう。

いずれにしても、２匹が一緒の時は絶対に目を放す事はないよう気をつけてくださいね。
最初のうちは、犬にはリード（引き綱）を着けたまま遊ばせた方がいいかもしれません。
何かあったとき、人が怪我をしないで引き離せますからね。