こんにちはー。
私もそういえば引越ししたなぁ〜と思い、書き込ませていただきます。
御参考までに・・・
私の場合、練馬区→豊島区 の移動だったんですけど、サークル飼いだったので、
引越しやさんが来るまで いつもどうり サークルに入っていてもらいました。
で、「こんちはー」と同時にキャリーに入れ、サークルはたたみます。
（サークルはトラックに載せるので）
荷物を積みおわるまでは 邪魔にならない場所にいてもらい、
（その間 私は荷物運びをを手伝ったりなんかして）
トラックが出発すると同時に キャリーを持って電車に乗り、新居に到着、というかんじです。
新居では、荷物運びのあいだは また邪魔にならない場所にいてもらい、
引越し屋さんが帰ったら キャリーから出してあげました。
その間、１〜2時間だと思うけど、これが最善策かなあと思って。
新居（というほどでもない1K）は、すでに間取りチェックをして、
家具やサークルをどこに置くか決めておいたので、あまり慌てなくてすんだかな？
その後、特に体調を壊したとかいうこともなかったので、
この程度の時間や移動距離なら どこかに預けたりしなくても大丈夫かなと思います。
というか、私は よほど信頼できる人じゃないと心配で、
帰省の時も 6時間程うさぎ連れで新幹線に乗ったりするので、
自分の手元に居る方が安心だというのもあるんですけど・・・
うちのうさは 移動中は緊張して 好物も食べないのでかわいそうなんですが、
できるだけなでたりして。
うさちゃんの性格（移動はすごくストレスになるとかそうでもないとか）にもよりますけど、
私としては、やはり飼い主さんが近くにいるのは
見知らぬ場所でも多少のストレス緩和になるかなと思います。

引越し当日も大変だけど、その前後のうさちゃんの体調にも気を付けてみてくださいねー。
うさぎってなんだか、飼い主が忙しいとか、余り構ってくれないときに限って病気してたりするような気がして。
スムーズにお引越し出来るといいですね！