お久しぶりです。フラットちゃんは、本当にパパさんの子になっていて幸せな子だと思います。ここまで一生懸命に、お世話してくださるのですもの。
さて、歯肉炎と言っても、人間の歯槽膿漏のような状態になっていたのでは、抜歯という処置もあり得ます。
レントゲンは見せていただきましたか？
毛が抜けるほどの皮膚の炎症は、大量の涙が原因です。
その涙は、おそらく涙腺が圧迫されて流れず（涙腺詰まり）にあふれているのでしょう。
涙腺詰まりの原因は、単に何らかの細菌感染の事もありますが、多くは歯根が上に押しやられて、涙腺を圧迫しているのです。
となると、原因である歯を抜かない限り、涙腺詰まりは治りません。
この状況は、レントゲンを見れば、すぐに分かるはずです。

また前述したとおりに、歯肉炎がひどくなれば歯槽膿漏になり、多少の膿があるでしょう。この場合怖いのは、細菌感染を起こして膿瘍になる事です。
フラットパパさんなら、膿瘍の手ごわさをご存知ですね。

というわけで、フラットちゃんにとって、何が一番リスクが少なく、病態が改善されるかを考えるなら、セカンドオピニオンも検討してはいかがでしょう。
幸いフラットちゃんは、今のところ食欲があるようですから、体力のあるうちに検討されたら良いかと思います。
どちらの病院でも同じことを言われたら、抜歯は体力のあるうちですし、どうしても嫌なら他の道はないかと相談されたらよろしいかと。
また違う見解だったら、パパさんのお考えで病院を選んだら良いと思いますよ。
不自由な体でも、精一杯パパさんの子供であることを楽しんでいるフラットちゃんの健康を、心から祈ります。
経過を教えてくださると、嬉しいです。