あくまでもご参考までに。

蚊取り線香（マットタイプも同じ）に使われるピレスロイド系殺虫剤は
虫や魚には毒性が高いそうで、メーカーさん側の説明では
「温血動物の体内では速やかに解毒されるため安全性が高い」らしい。
（ここら辺は蚊取り線香で有名なメーカーさんのＨＰなどを参照して下さい）

（財）日本中毒情報センター・ホームページ中の中毒情報データベースで、
「蚊取り線香」やら「ピレスロイド」の検索をすれば、人や一部の哺乳類に
どれくらいの影響があるかが載っています。ぜひご覧になってみてください。
http://www.j-poison-ic.or.jp/homepage.nsf
ちなみに成人だと15〜22巻きくらい食べても害がないとか。（誰が食べるか！）

ただ、鳥（ペットバード）に対しての資料はないようですね。
知ってる方がいたらぜひ教えて欲しいところです。

我が家でもマットタイプを使う日があります。人間の寝室用ですが。
気体なので鳥のいる部屋にも流れていると思います。
とりあえず、それくらいなら（何年も過ごしてきたけど）大丈夫です。
（あくまでも私個人の経験談で、決してオススメしているわけじゃないですよ）

最近では「無臭」で「数十日間交換不要」のものがあるので、
つけっぱなしにしないとか、日中は十分換気する時間を作るとか、
使用する人間が注意しないといけませんね。
守る対象は体重僅か数十グラムの生き物ですから。

それから日本では今のところ大丈夫ですが、ウェストナイル熱は
蚊と鳥の間の感染から広まったようですから、将来的には人の蚊対策と、
ペットバードの蚊対策について同時に考える時が来るかもしれませんね。