お役に立てるかわかりませんが、我が家ではこうして移動してます。
移動することが悪いことかは私にはわかりませんが…

私は飼っているボタンインコを、三重県から神奈川の実家に帰るときに
いつもつれて帰ります。車で６〜７時間、電車で４時間ほどです。
車での移動は深夜なので、カゴにいつも寝かすときに使うタオルをかけ、
真っ暗にします。公道では道がガタガタして心配でしたが、
意外と落ち着いてました。高速ではずっと寝ていたようです。
電車もやはりカゴごとです。昼なので色の濃いタオルで真っ暗にしました。
こまめに声をかけてあげましたが、多分緊張していたのだと思います。
覗くと威嚇するようなしぐさもありましたが、
暴れたり鳴いたりすることもなく移動できました。
ちなみに100円ショップでビニールの大きい手提げ袋を買って、
タオルにくるんだカゴをそれに入れて運びました。←便利です
以前、病院に連れて行くときに小さな移動用キャリーに入れましたが、
暴れて怖がったので、それ以来カゴごと車に乗せるようにしました。
私が気を遣ったのは、できるだけ安心させてあげたかったので、
時々声をかけたり、鳴きまねをしたり、顔を見せてやったりしていました。

先日のオカメインコは、昨日からエサをがっつき始め、
現在また元気を取り戻しました。