厳しいことを書きますが、嘆願書等を出されることはやめた方がよいでしょうね。

「できるだけ」とか「できれば」とか、あまりにも他力本願で無責任な発言に聞こえます。
自分が犬を引き取ると決めたのであれば、家族に頼らず犬に掛かる費用もお世話もご自分がすべきではないですか？
家族に協力をお願いといえば聞こえは良いですが、ただ甘えているだけです。
小学生など小さな子供が自分が世話をするから動物を飼ってと泣きつき、そのまま子供は自分の楽しみに夢中になり自分の都合の良い時に可愛がる。結局犬の世話は親がすることになるというケースと何ら変わらないです。
将来、ご自分に生活の変化があるように親姉弟にも生活や環境の変化がありますよ。

自分の楽しみ、自分の時間を削っても責任を負う覚悟があるなら、先の言葉は出ないはずです。
犬を引き取り飼うということは命の責任を取るということです。
自分が手を差し伸べた命を守りきるその覚悟が必要です。
できればや出来るだけではなく、「私が犬に掛かる費用は出して散歩も健康管理もお世話をします。何があっても手放しません。最後まで命を守りきります。」の覚悟がない場合には、引き取るべきではないです。
犬は人間社会で何かと縛られる事が多いので、人が出来る我慢をすることを私は厭いません。
人と同じくらいの年月を一緒に暮らせない（犬が短命）だから切ないこともありますが、それでも犬と共に暮らすことを楽しみ、犬から得ることも大変多いと感じています。
室内飼い飼育に関して言えば、老犬になったり病気になった時など外で飼育しするより室内で飼育をする方が遙かに犬にメリットがあります。
家族の生活環境に合わない犬を飼育することも犬にとっても不幸です。
これも保健所で引き取られる犬の理由の一つでもあります。
家族に対して甘えがあるようですから犬の飼育管理について動物の愛護とは何かもう一度よく考えられますように。

自分だけでは世話が出来ない、最初から誰かに頼らなければならないと思うなら、例え可哀想と思っても引き取りをしないことも立派な動物の愛護になります。