sumireさん、レスありがとうございます。
呼び方が、ごちゃごちゃになってしまいまして分かりずらかったですね、すみません。
私が譲り受けたのは他のボランティア活動をされている方を介してで、元の飼い主さんは別の方です。
たまたま元の飼い主さんもボランティア活動をされていたのでした。（大分後になって知りました）
私自身も猫のボランティア活動に興味があるので、仲良くお話しもいろいろとさせていただいていました。

私が飼えなくなりそうで困ってることを相談した時、その方は、
「いつでも預かるし、私の変えない事情が回復すればまた戻せばいいし、心配しなくて大丈夫よ」と
あっさりと引き受けて下さったのが大変うれしかったことです。
でもsumireさんのおっしゃっられるように、「預けること」イコール所有権を渡すことになりますよね。

私もそうでしたが、譲り受ける（誓約書を交わす際）、いろいろ聞かれたり猫の飼い方など守れるかどうか、
いろいろお話し合いはありました。
（その後はもちろん何も言ってきません。ちゃんと飼っていたつもりですし、その子の様子なども時折報告してましたから）

渡してしまってから、私がどうこうできなくなるのですから、今後どのように育てられるのか
この猫にとってベストな方法をあらかじめ考えてあげたい、という意味でうかがいました。

譲渡の際、相性が合うかどうか「お見合い」をさせてみるということはざらにしてますよね？
その引き受けてくださると言ってくださった元の飼い主さんに渡すのであれば、複数の犬・猫ちゃんたちと一緒に住むことはうかがいましたので、果たして今まで全く違う環境になじめるのかどうか、
そのくらいは事前に確かめたい、反応を見てみたいと思うのは普通だと思いますが・・

全くダメそうであれば、苦戦してでも相性がよく受けてくださる里親さん探しをした方がいいのかな、
と考えたまでです。
でもこの年齢ですから難しいことや、動物実験目的のケースもあると耳にすれば、
当然怖くて避けたいですからこちらとしては、所有権を渡す前に慎重に吟味するのは当然かと思いますが・・

それがどの程度難儀なのかという実情となにかうまい探し方のコツみたいなものでもあれば
教えていただきたかったのです。

アドバイスいただきましたこと、私としては
「猫と一緒に暮らしていくことができないか再検討する」が一番の希望です。
「飼えなくなりそうな事情」であるトラブルが解決してくれればいいのですが、
今のところ見通しが全くないもので、今のうち考えておかなければいけない、と思っております。

いろいろとありがとうございました。