かかりつけの獣医さんが話されたメインクーンの遺伝病とは肥大型心筋症(HCM)のことですが、メインクーンに多く見られる、すなわちその染色体優性遺伝子を持ってしまった子を繁殖に使ったため、メインクーンで多く見られるようになった、という病気であって、特にメインクーンだけの病気ではないと、まずご理解ください。
どんな種類の猫でも、この遺伝子を持っている子から生まれると、この病気にかかる可能性があります。（猫種によって症状の軽い、重いはあるようですが）
ある年齢に達するまでは病気を発見するのが難しいほど、無症状の場合が多く、ある日突然亡くなるというケースが多いです。もしご心配があるなら、胸のＸ線検査、心超音波検査、心電図、血液検査、などを行って診ていただいてください。
走り回った後に犬のように口を開けてハァハァ呼吸することは普通の猫でもよく見られます。猫は犬ほど体温調整を急激に行わなければいけない動物ではありませんが、それでも身体の温度を下げるためにハァハァとします。
何もない状態でハァハァするのであれば心配ですが、運動後であればそれほど心配されることはないのでは？？？

肥大型心筋症については、友人のページに詳しく書かれていますので、ご参考にしてください。URLは↓です。
http://infofarm.affrc.go.jp/~shinmoto/