法律家ではありませんので、ご参考までに
里親・里子探しで引き渡した後での、返還請求のトラブルのようですが。

プロキオン先生は占有権のレスがありましたが。

この場合、この子の譲渡について、現在判っていることは
１．契約書が作成されていないこと。
２．代金を支払いしていないこと。

で、ご説明します。

こういう形での譲渡は「贈与契約」に当たります。
書面によって、契約されていない場合は、【相手に引き渡す前であれば】、特別な理由がなくても、契約を取り消すことが出来るとされています。
これは、「贈与契約」においては、貰い受ける人は代金を支払わないので、譲り渡す人の気持ちを重要視しているのです。
でも、一旦相手に引き渡してしまった後では、契約を取り消すことは出来ません。

【すでに、相手の方は、あなたに子猫を譲り渡しているのですから、相手の要求である返還請求は無効です。所有権はあなたにありますので、請求に応じる必要はありません。】

しかし、契約書があった場合は、契約内容に準じることになりますので、この限りではありません。
個人間での話しは、拗れやすいですので、専門家（弁護士や司法書士）に間に入って、話しをして頂くことがよいのではないかと思います。
弁護士については、お住まいの地区の弁護士会で紹介して頂くことが出来ます。
依頼前に行う、電話相談は無料、面談相談は３０分５０００円のはずです。
依頼をされる際には、弁護士或いは、司法書士への委託料がかかりますが、報酬金額は決まっていますので事前に教えて頂けます。