狂犬病ワクチン猶予証明書は、今、お住まいの市町村に提出するものですから、お住まいの地域でのかかつけの主治医さんに発行してもらうのが本来の姿でしょう。

ただ、転居なされているようなので、今の主治医が狂犬病ワクチンによるアレルギー症状を直接確認していなければ、即発行とはならないかもしれません。
これは、法律によって義務付けられている接種の猶予を証明する書面ということになりますから、発行する獣医師にも責任が伴います。したがって、アレルギーが発生したことと、狂犬病のワクチンの接種との因果関係が推定されていなくてはなりません。証明書を発行する獣医師が、その点を充分に把握しないまま発行するわけにもいかないからです。

けれども、今から狂犬病ワクチンを接種して、アレルギーが発生するのを確認するということにも賛成できかねますので、以前のかかつけの先生にお願いして証明書を書いていただき、その証明書を転居後の先生にも確認していただいて、今後にそなえていただくということでよいのではないでしょうか？
あるいは、直接猶予証明書でなくても、紹介状のような形で狂犬病ワクチンに由来すると考えられるアレルギーがある点を触れて置いていただくことでも済むように思います。そうすれば、今の先生の方でも猶予証明書を発行しやすくなると思います。