鼻は、病院に行ってなにが原因でそうなのかがわかるまではなんともしようがありません。自己判断でなにかをしてしまうよりはなにもしないほうがいいです。
フィラリア予防を3〜4年怠っているならおそらくフィラリアになっています。予防せずに(正確には駆虫ですが)夏を3回越すと8〜9割の犬はフィラリアに感染するといわれています。命がけの治療をしなければなりません。
日が差す場所と完全な日陰の場所とに自由に行けて、なおかつ風通しのいい場所、好きなだけ飲める水、これが熱中症対策です。日陰でも、建物やブロック壁や犬小屋などで囲まれて風通しがよくないと熱中症になります。フィラリアで血行障害があると、今の時期の晴天で風のない日だと夕方の5時ちょっと過ぎの散歩だと犬にとってはきついかもしれません。梅雨時から真夏にかけて、また残暑の時期は、6時を回ってから、できれば7時近く、気温と地温が下がってくる時間帯を目安にするほうが安全です。
犬が自ら散歩に行きたがらないときは散歩は控えてください。日頃の習慣を拒絶するのはかなり具合が悪いときです。飼い主が「行く？」と促す気配を見せると犬は無理をしてでも行かなきゃとがんばってしまうので、具合の悪いときは促す気配を見せないほうがいいです。じっとしていたい、排泄だけしてすぐ帰ってきたいなど、犬の気持ちを優先してあげてください。
散歩に行く元気があったのなら、熱中症を視野に入れたとしてもミネラル補給が必要なほど重態ではないので普通の飲み水で充分です。