犬であればパピー教室などで犬同士の遊び方を学べば、人と遊ぶ方法も少し違ってくると思うのですが
猫にはそういうシステムがないですものね。

最初のレスにもありましたが、今は「しつけ」とか「こうしなければ」というお気持ちはどこかに置いておかれた方がいいでしょう。
まずは、子猫さんのかわいらしい仕草、遊びを満喫することも大切ですね。
で、咬む事の対処法は、やっぱりねこねこさんがおっしゃるとおり、当分の間は、軍手や厚手の靴下を履いて
防御していただくのがいいでしょう。
興味を失うのを待つしかないかもしれません。
私も数年前に子猫を育てた記憶を呼び起こしてくると、やはり、人の手は遊び道具のように楽しんでいましたね。
でも、いつの間にか手に興味を失い、ボールや壁をよじ登る方に楽しみを見出したようでした。
たぶん、よもさんの猫さんも、ある年齢に達し、走り方などがしっかりしてきたら、手で遊ぶより、キャットタワーを駆け上がったり、壁紙をはがしたりが楽しくなると思いますよ。
（人のとっては、困ることかもしれませんが）
ですから、やはり今は「安心な存在」をめざしてみましょうよ。
一緒に眠るのは、興奮していて無理だったということでしたね。でも、何度でもトライしてみてもらえませんか？
お休みで一日中遊んだ日がいいかもしれません。たぶん早くに眠たくなるでしょうから、
まずはケージで眠らして
抱っこして人の布団まで運んではどうでしょう。
本当に眠かったら、そのままま眠ります。
朝早起きで、多少の寝不足はあるかもしれませんが、少しずつ人のリズムに猫が慣れてきて、夜も眠ってくれますよ。
仔猫のうちの寝不足は飼い主皆さんの共通の悩みの種だと思うのですよ。

たぶん、もう少し我慢したら悩んでたことがうそのようになりますよ。

また、ケージの中に紙ボールをぶら下げたりして、中でも遊べるようにしてみられるのも
いいでしょう。