それが何であるのか正体がわからなければ、適切な治療が出来ないことはわかっていただけますね。
この場合はその為には、麻酔をかけて検査をしなければならないということになります。
その際、組織が小さく、麻酔が長くならないようであれば、検査の採材とともに、切除という事もあります。

＞理由としては検査をするのに、全身麻酔をし、耳を少しくり貫く必要が
あるらしく、唯でさえ人一倍臆病で11歳と言う高齢の猫が耐えれるのか？
仮に検査をして悪性の腫瘍を切除せねばならない場合、11歳の臆病な猫が
精神的にも耐えれるのかどうか不安です。

残念ですが、これについては主治医の判断を仰ぐしかないと言うのが正直なところです。
麻酔に耐えられるのかどうかは、前もっての血液検査や全身状態などから判断しますし、その猫さんの性格なども
やはり主治医の先生の方がよくおわかりでしょう。
手術の前に何度か手術の不安な点を話し合ってみるといいでしょう。

動物が高齢期に差し掛ると、様々な疾患を発症することがあります。難しい選択をしなければならないこともあるでしょう。
何に重点を置いて治療をしていくのかは、飼い主さんでなければ決めることはできません。
迷われるのであれば、主治医の先生にセカンドオピニオンを求めたいと、大学病院などを紹介いただいてもいいでしょう。